已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)•an+sin2nπ2，则该数列的前10项的和为______．

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)•an+sin2nπ2，则该数列的前10项的和为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为a₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos² π2）a₁+sin² π2=a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos² (2k-1)π2]a_2k-1+sin² (2k-1)π2=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos² 2kπ2）a_2k+sin² 2kπ2=2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a_2k=2^k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案为：77

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。