已知数列{an}的前n项和为Sn，且点在函数y=2x-1-2的图象上．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足：b1=0，bn+1

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数y=2^x-1-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求实数h(-1)=-13的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意可知，Sn=2n+1-2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2也满足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
当k=1时，b2+b1=21，…①
当k=2时，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
当k=3时，b4+b3=23，…③
当k=4时，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1个式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=2[1-(-2)n-1]1-(-2)=2(1+2n-1)3=2n3+23，又b₁=0，
所以，当n为偶数时，bn=2n3+23．
同理，当n为奇数时，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=2[1-(-2)n-1]1-(-2)=2-2n3，
所以，当n为奇数时，bn=2n3-23．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(23-23)+(223+23)+(233-23)+(243+23)+…+(2n3+23)
=23+223+…+2n3=13•2(1-2n)1-2=2n+13-23；
当n为奇数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=(23-23)+(223+23)+…+(2n-13+23)+(2n3-23)
=(23+223+…+2n3)-23=2n+13-43．
故数列{b_n}的前n项和Tn=2n+13-23(n为偶数)2n+13-43(n为奇数)．…（8分）
（III）由（II）可知bn=2n3+23(n为偶数)2n3-23(n为奇数)，
①当n为偶数时，bnbn+1=2n3+232n+13-23=2n+22n+1-2=12+32n+1+2，
所以bnbn+1随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时，bnbn+1的最大值是b2b3=1．
②当n为奇数时，bnbn+1=2n3-232n+13+23=2n-22n+1+2=12-32n+1+2，
所以bnbn+1随n的增大而增大，且bnbn+1=12-32n+1+2＜12＜1．
综上，bnbn+1的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式b_n＜λb_n+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）

解析

2[1-(-2)n-1]1-(-2)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。