已知数列{an}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．求数列{an}的通项公式；设bn=2anan+1，数列{bn}

题文

已知数列{a_n}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2anan+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．若存在实数λ，使得λ≥T_n，试求出实数λ的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，∵2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2
2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，
∴2an=(2n+1-2)-(2n-2)，即2an=2n．
当n=1时，2a1=22-2，解得a₁=1，也符合上式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n；
（2）由（1）可知：bn=2anan+1=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，
∴T_n=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)．
∵Tn+1-Tn=2(1-1n+2)-2(1-1n+1)=2(n+1)(n+2)＞0，
∴T_n+1＞T_n．数列{T_n}是单调递增数列，
∴{T₁}的最小值为T₁=1．
由题意，λ≥数列{T_n}的最小值=1，
∴实数λ的最小值为1．

解析

2anan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：2a1+2a2+….....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。