若正数项数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，点P在曲线y=2上．求a2，a3；求数列{an}的通项公式an；（3

题文

若正数项数列{a_n}的前n项和为Sn，首项a₁=1，点P（Sn，S_n+1）在曲线y=（x+1）²上．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=1an•an+1，Tn表示数列{b_n}的前项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，sn+1=(sn+1)2
分别取n=1和n=2时，可得a1+a2=(1+a1)2a1+a2+a3=(1+a1+a2)2
由a₁=1可得，a₂=3，a₃=5
（2）由sn+1=(sn+1)2可得sn-sn-1=1
∴{s_n}是以s1为首项，以1为公差的等差数列
∴sn=1+(n-1)×1=n
∴s_n=n²
当n≥2时，an=n2-(n-1)2=2n-1
∴a_n=2n-1
（3）∵bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）
=12(1-12n+1)=n2n+1
显然T_n关于n单调递增，当n=1时，T_n有最小值T1=13
∵T_n≥a恒成立
∴a≤13

解析

sn

考点

据考高分专家说，试题“若正数项数列{an}的前n项和为Sn，首.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。