已知数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn=2an-2n(n∈N*)．求数列{an}的通项an；若数列{bn}的满足bn=log2，Tn

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：Sn=2an-2n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{bnan+2}的前n项和，求证：Tn≥12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n①，则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），∴an+2an-1+2=2，
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2．
∴{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1，∴an=2n+1-2；
（2）证明：bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，∴bnan+2=n+12n+1，
则Tn=222+323+…+n+12n+1③，
12Tn=223+324+…+n2n+1+n+12n+2…④，
③-④，得12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2=12+123(1-12n-1)1-12-n+12n+2=34-n+32n+2，
∴T_n=32-n+32n+1．
当n≥2时，Tn-Tn-1=-n+32n+1+n+22n=n+12n+1＞0，
∴{T_n}为递增数列，∴Tn≥T1=12．

解析

an+2an-1+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn，满足：S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。