已知数列{an}中，a1=3，a2=5，Sn为其前n项和，且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1．求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，S_n为其前n项和，且满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=nan-1，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若f（x）=2^x-1，c_n=1anan+1，Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n），求证Q_n＜16（n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1得an=an-1+2n-1(n≥3，n∈N*)，
∵a₂=5，∴当n≥3时，a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=5+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+1，
经验证a₁=3，a₂=5也符合上式，
∴an=2n+1(n∈N*)；
（2）由（1）可得bn=nan-1=n2n，
∴Tn=12+222+323+…+n2n①⇒12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1②，
①-②有：12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，
∴Tn=2-n+22n；
（3）∵f(x)=2x-1，cn=1anan+1，
∴cnf(n)=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1-12n+1+1)(n∈N*)，
∴Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n）
=12[(121+1-122+1)+(122+1-123+1)+…+(12n+1-12n+1+1)]
=12(11+2-12n+1+1)＜12×13=16．

解析

nan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=3，a2=5，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。