在等差数列是{an}中，已知a4与a2与a8的等比中项，a3+2是a2与a6的等差中项，Sn是前n项和，则满足911＜1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜192

题文

在等差数列是{a_n}中，已知a₄与a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，S_n是前n项和，则满足911＜1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜1921(n∈N*)的所有n值的和为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列是{a_n}的公差为d，由a₄是a₂与a₈的等比中项，得(a1+3d)2=（a₁+d）（a₁+7d），化简得a1d=d2①，
由a₃+2是a₂与a₆的等差中项，得2（a₁+2d+2）=（a₁+d）+（a₁+5d），解得d=2，代入①得a₁=d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）•d=2n，
则Sn=n(2+2n)2=n（n+1），
所以1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1，
则1S1+1S2+1S3+…+1Sn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1，
由已知得911＜1-1n+1＜1921，解得92＜n＜192，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案为：35．

解析

n(2+2n)2

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列是{an}中，已知a4与a2与.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。