已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有nan+1=2Sn．求{an}的通项公式；设bn=4an+1an2an+22，

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=4an+1an2an+22，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：Tn＜54． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）解法一：由na_n+1=2S_n①
得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1②，
由①-②可得，na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
所以na_n+1=（n+1）a_n，
即当n≥2时，an+1an=n+1n，
所以a3a2=32，a4a3=43，a5a4=54，…，anan-1=nn-1，
将上面各式两边分别相乘得，ana2=n2，
即an=n2•a2（n≥3），
又a₂=2S₁=2a₁=2，所以a_n=n（n≥3），
此结果也满足a₁，a₂，
故a_n=n对任意n∈N₊都成立．…（7分）
解法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，
得nS_n+1=（n+2）S_n，
即Sn+1Sn=n+2n，
∴当n≥2时，Sn=S1•S2S1•S3S2•…•SnSn-1=1×31×42×53×…×n+1n-1=n(n+1)2（此式也适合S₁），
∴对任意正整数n均有Sn=n(n+1)2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（此式也适合a₁），
故a_n=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得bn=4an+1an2an+22=4n+4n2(n+2)2=1n2-1(n+2)2
Tn=112-132+122-142+132-152+…+1n2-1(n+2)2=1+14-1(n+1)2-1(n+2)2=54-(n+1)2+(n+2)2(n+1)2(n+2)2＜54
∴Tn＜54．…（13分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。