已知有两个数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别记为Sn，Tn，且数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sm=26，前m项中数值最大的项的值为18，S2m=

题文

已知有两个数列{a_n}，{b_n}，它们的前n项和分别记为S_n，T_n，且数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，S_m=26，前m项中数值最大的项的值为18，S_2m=728，又Tn=2n2
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（II）若数列{c_n}满足c_n=b_na_n，求数列{c_n}的前n项和P_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a_n＞0，∴q＞0
若q=1时  S_m=ma₁S_2m=2ma₁，此时2S_m=S_2m，而已知  S_m=26，S_2m=728，∴2S_m≠S_2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由Sm=26Sm=728得 a1(1-qm)1-q=26(1)a1(1-q2m)1-q=728(2)…（2分）
（1）÷（2）得：1+q^m=28∴q^m=27…（3分）
∵q^m=27＞1∴q＞1   
∴前m项中a_m最大∴a_m=18…（4分）
由 a1qm-1=18得，a1qm-1qm=1827∴a1q=23(3)    即a1=23q
把a1=23q及q^m=27代入（1）式得   23q(1-27)1-q=26
解得q=3  
 把q=3代入a1=23q得a₁=2，所以 an=2×3n-1…（7分）
由Tn=2n2
（1）当n=1时 b₁=T₁=2
（2）当 n≥2时 bn=Tn-Tn-1=2n2-2(n-1)2=2n2-2(n2-2n+1)=4n-2
∵b₁=2适合上式∴b_n=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得  cn=(4n-2)•2×3n-1=4(2n-1)×3n-1
记dn=(2n-1)×3n-1，d_n的前n项和为Q_n，显然P_n=4Q_nQn=d1+d2+d3+…+dn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1…①∴3Qn=d1+d2+d3+…+dn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n…..②
…（11分）
①-②得：-2Q_n=1+2×3¹+2×3²+2×3³+…2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
=1+2×3(1-3n-1)1-3-(2n-1)×3n=-2-（2n-2）×3ⁿ…（13分）
∴4Qn=4(n-1)×3n+4，
即Pn=4(n-1)×3n+4…（14分）

解析

Sm=26Sm=728

考点

据考高分专家说，试题“已知有两个数列{an}，{bn}，它们的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。