设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）c_n=n(3-bn)2，求c_n的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S_n=2-a_n①
当n=1时，S₁=2-a₁，∴a₁=1．
取n=n+1得：S_n+1=2-a_n+1②
②-①得：S_n+1-S_n=a_n-a_n+1
即a_n+1=a_n-a_n+1，故有2a_n+1=a_n（n=1，2，3，…），
∵a₁=1≠0，∴a_n≠0，∴an+1an=12（n∈N^*）．
所以，数列{a_n}为首项a₁=1，公比为12的等比数列．
则a_n=(12)n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴bn+1-bn=(12)n-1，
则b2-b1=(12)0=1，
b3-b2=(12)1=12，
b4-b3=(12)2，
…
bn-bn-1=(12)n-2．
将以上n-1个等式累加得：
bn-b1=1+12+(12)2+(12)3+…+(12)n-2
=1×[1-(12)n-1]1-12
=2-12n-2．
∴bn=b1+2-12n-2=1+2-12n-2=3-12n-2．
（Ⅲ）由cn=n(3-bn)2=n(3-3+12n-2)2=n2n-1．
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．
得：Tn=120+221+322+…+n-12n-2+n2n-1③
12Tn=121+222+323+…+n-12n-1+n2n④
③-④得：12Tn=1+12+122+123+…12n-1-n2n
=1×(1-12n)1-12-n2n
=2-12n-1-n2n．
∴Tn=4-2+n2n-1．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。