已知正项等比数列{an}，首项a1=3，前n项和为Sn，且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差数列．求数列{an}的通项公式；求数列

题文

已知正项等比数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=3，前n项和为S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设正项等比数列{a_n}（n∈N^*），又a₁=3，∴an=3qn-1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化简得4a₅=a₃，
∴4a1q4=a1q2，化为4q²=1，
解得q=±12，
∵{a_n}（n∈N^*）是单调数列，
∴q=12，an=62n．
（2）由（1）知Sn=6(1-12n)，
Tn=6(1-12)+6(2-222)+6(3-323)+…+6(n-n2n)，
Tn=3n(n+1)-6(12+222+323+…+n2n)，
设Rn=12+222+323+…+n2n，则2Rn=1+22+322+…+n2n-1，
两式相减得Rn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=2-n+22n，
∴Tn=3n(n+1)-6Rn=3n(n+1)-12+3(n+2)2n-1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知正项等比数列{an}（n∈N*），首.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。