已知等差数列{an} 中，a3=7，a1+a2+a3=12，令bn=an•an+1，数列{1bn}的前n项和为Tn．求数列{an}的通项公式；求证：

题文

已知等差数列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，数列{1bn}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n＜13；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，由a3=a1+2d=7a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1d=3．∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵a_n=3n-2，a_n+1=3n+1，∴b_n=a_n•a_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴1bn=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)．
∴Tn=13(1-13n+1)＜13．
（3）由（2）知，Tn=n3n+1，∴T1=14，Tm=m3m+1，
∵T₁，T_m，T_n成等比数列，∴(m3m+1)2=14•n3n+1，即6m+1m2=3n+4n．
当m=2时，134=3n+4n，n=16，符合题意；
当m=3时，199=3n+4n，n无正整数解；
当m=4时，2516=3n+4n，n无正整数解；
当m=5时，3125=3n+4n，n无正整数解；
当m=6时，3736=3n+4n，n无正整数解；
当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则6m+1m2＜1，而3n+4n=3+4n＞3，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．

解析

a3=a1+2d=7a1+a2+a3=3a1+3d=12

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an} 中，a3=7，a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。