已知无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=Aa2n+Ban+C，其中A、B、C是常数．若A=0，B=3，C=-2，求数列{an}的通项公式；

题文

已知无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=Aa2n+Ban+C，其中A、B、C是常数．
（1）若A=0，B=3，C=-2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若A=1，B=12，C=116，且a_n＞0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列{a_n}是公比不为-1的等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=Aa2n+Ban+C，A=0，B=3，C=-2，
∴S_n=3a_n-2，
∴当n=1时，a₁=3a₁-2，解得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，
整理，得2a_n=3a_n-1，
∴anan-1=32，
∴an=(32)n-1．
（2）∵Sn=Aa2n+Ban+C，A=1，B=12，C=116，
∴Sn=a2n+12an+116，
∴当n=1时，a1=a21+12a1+116，解得a1=14，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a2n-a2n-1+12an-12an-1
整理，得(an+an-1)(an-an-1-12)=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=12，
∴{a_n}是首项为14，公差为12的等差数列，
∴Sn=n4+n(n-1)4=n24．
（3）若数列{a_n}是公比为q的等比数列，
①当q=1时，a_n=a₁，S_n=na₁
由Sn=Aa2n+Ban+C，得na1=Aa21+Ba1+C恒成立
∴a₁=0，与数列{a_n}是等比数列矛盾；
②当q≠±1，q≠0时，an=a1qn-1，Sn=a1q-1qn-a1q-1，
由Sn=Aa2n+Ban+C恒成立，
得A×a21q2×q2n+(B×a1q-a1q-1)×qn+C+a1q-1=0对于一切正整数n都成立
∴A=0，B=qq-1≠1或12或0，C≠0，
事实上，当A=0，B≠1或12或0，C≠0时，
S_n=Ba_n+Ca1=C1-B≠0，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=Ba_n-Ba_n-1，
得anan-1=BB-1≠0或-1
∴数列{a_n}是以C1-B为首项，以BB-1为公比的等比数列．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知无穷数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。