设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n求a1，a2设cn=an+1-2an，证明：数列{cn}是等比数列求数列{n+12cn}的前n项和

题文

设数列{a_n}的前n项和为Sn=2an-2n
（Ⅰ）求a₁，a₂
（Ⅱ）设c_n=a_n+1-2a_n，证明：数列{c_n}是等比数列
（Ⅲ）求数列{n+12cn}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=S₁，2a₁=S₁+2，
∴a₁=2，S₁=2，
由2a_n=S_n+2ⁿ知，2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹
得a_n+1=s_n+2ⁿ⁺¹①，
∴a₂=S₁+2²=2+2²=6；
（Ⅱ）由题设和①式知a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
即c_n=2ⁿ，
∴cn+1cn=2（常数），
∴{c_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）∵c_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴n+12cn=n+12n+1，
∴数列{n+12cn}的前n项和T_n=222+323+424+…+n+12n+1，
12T_n=223++424+…+n2n+1+n+12n-2，
相减得12T_n=222+123+124+125…+n2n+1-n+12n+2=12+123×(1-12n-1)1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2，
∴T_n=32-12n-n+12n+1．

解析

cn+1cn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn=2an-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。