已知数列{an}的前n项和Sn=n+n22k-1．求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；设数列{

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n+n22k-1（n∈N^*，k是与n无关的正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}满足不等式：|a₁-1|+|a₂-1|+…|a_2k-1-1|+|a_2k-1|≤6，求所有这样的k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=n+n22k-1（k是与n无关的正整数），
∴a₁=22k-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12k-1[（n²+n）-（（n-1）²+（n-1））]=2n2k-1，
当n=1时，a₁=22k-1也适合上式，
∴a_n=2n2k-1．
∴a_n+1-a_n=12k-1[2（n+1）-2n]=22k-1为定值，
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）∵a_n=2n2k-1，
∴a_k=2k2k-1=1+12k-1，
∴a_k-1=12k-1，
又数列{a_n}的公差d=22k-1＞0，故数列{a_n}为递增数列，
∴a_k+1-1＞12k-1，
a_k+2-1＞12k-1，…，
a_k+k-1＞12k-1，
∴|a_k-1|+|a_k+1-1|+…+|a_k+k-1|=a_k-12k-1+a_k+1-+12k-1…+a_k+k-12k-1＞k+1，
∴(k+1)×2k2k-1+(k+1)•k2•22k-1＞k+1+k+12k-1，
要使|a₁-1|+|a₂-1|+…|a_2k-1-1|+|a_2k-1|≤6，
需k+1＜5（k∈N^*），即1≤k≤4（k∈N^*），
①当k=1时，a₁=22k-1=2，d=22k-1=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
∴|a₁-1|+|a₂-1|+…|a_2k-1-1|+|a_2k-1|=|a₁-1|+|a₂-1|=|2-1|+|4-1|=4≤6，即k=1时符合题意；
②当k=2时，a₁=22k-1=23，d=22k-1=23，
同理可求a_n=2n3，
∴|a₁-1|+|a₂-1|+…|a_2k-1-1|+|a_2k-1|=|a₁-1|+|a₂-1|+…+|a₄-1|=（1-23）+（43-1）+（2-1）+（83-1）=103＜6，故k=2时符合题意；
③当k=3时，同理可求a_n=25n，
|a₁-1|+|a₂-1|+…+|a₆-1|=35+（1-45）+（65-1）+（85-1）+（2-1）+（125-1）=4＜6，故k=3时符合题意；
④当k=4时，同理可求a_n=27n，
|a₁-1|+|a₂-1|+…+|a₈-1|=57+37+17+17+（107-1）+（127-1）+（147-1）+（167-1）=347＜6．故k=4时符合题意；
综上所述，存在k=1，2，3，4使|a₁-1|+|a₂-1|+…|a_2k-1-1|+|a_2k-1|≤6成立．

解析

n+n22k-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=n+n2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。