已知数列{an}是首项为1，公比为13的等比数列．求an的表达式；如果bn=an，求{bn}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}是首项为1，公比为13的等比数列．
（1）求a_n的表达式；
（2）如果b_n=（2n-1）a_n，求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}是首项为1，公比为13的等比数列，
∴an=(13)n-1；
（2）由（1）得，b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）(13)n-1，
∴S_n=1+3×13+5×(13)2+…+（2n-1）(13)n-1①，
13Sn=13+3×(13)2+5×(13)3+(2n-1)•(13)n②，
①-②得，23Sn=1+2×13+2×(13)2+…+2×(13)n-1-(2n-1)•(13)n=1+2×13[1-(13)n-1]1-13-(2n-1)•(13)n=2-(13)n-1-(2n-1)•(13)n，
∴S_n=3-n+13n-1．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为1，公比为13的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。