已知数列{an}满足Sn=n2an，其中Sn是{an}的前n项和，且a1=1，求求an的表达式；求Sn．

题文

已知数列{a_n}满足Sn=n2an（n∈N^*），其中S_n是{a_n}的前n项和，且a₁=1，求
（1）求a_n的表达式；
（2）求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由Sn=n2an（n∈N^*），得Sn-1=(n-1)2an-1（n≥2），
两式相减，得an=n2an-(n-1)2an-1，整理得anan-1=n-1n+1（n≥2），
∴n≥2时，an=a1×a2a1×a3a2×…×anan-1=1×13×24×35×…×n-1n+1=2n(n+1)，
又a₁=1适合上式，
∴an=2n(n+1)；
（2）由（1）知，an=2n(n+1)=2（1n-1n+1），
∴S_n=2（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=2（1-1n+1）=2nn+1．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足Sn=n2an（n∈.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。