已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f对任意的x∈R都有f+f=1，数列{bn}满足bn=f+f+f（2

题文

已知数列a_n的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足b_n=f（0）+f（1n）+f（2n）…+f（n-1n）+f（1）．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，T_n是数列{c_n}的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=2n+2-4(n∈N*)，
∴n=1，a1=S1=21+2-4=4…（1分）
n≥2，an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，
n=1时满足上式，
∴an=2n+1(n∈N*)…（2分）
∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f(1n)+f(n-1n)=1，…（3分）
∵b_n=f（0）+f（1n）+f（2n）…+f（n-1n）+f（1），①
∴bn=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f（1）+f（0），②
∴①+②，得2bn=n+1∴bn=n+12．…（5分）
（2）∵c_n=a_n•b_n，
∴cn=(n+1)•2n…（6分）
∴Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…（8分）
即Tn=n•2n+1…（9分）
要使得不等式k（n²-9n+26）T_n＞4nc_n恒成立，
∵（n²-9n+26）T_n＞0恒成立，
∴k＞4ncn(n2-9n+26)Tn对于一切的n∈N^*恒成立，
即k＞2(n+1)n2-9n+26…（11分）
令g(n)=2(n+1)n2-9n+26(n∈N*)，
则g(n)=2(n+1)(n+1)2-11(n+1)+36=2(n+1)-11+36(n+1)≤22(n+1)•36(n+1)-11=2
当且仅当n=5时等号成立，
∴g（n）_max=2…（13分）
所以k＞2为所求．…（14分）

解析

1n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。