已知数列{an}时公差不为零的等差数列，a1=1，a1，a3，a9成等比数列，则数列{an•2an}的前n项和sn=______．

题文

已知数列{a_n}时公差不为零的等差数列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列，则数列{an•2an}的前n项和s_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a₁a₉=a23，
即1+8d=（1+2d）²，
∴4d=4d²，
解得d=1，
∴a_n=1+n-1=n，an•2an=n•2ⁿ，
则s_n=1⋅2+2⋅2²+⋅⋅⋅+n⋅2ⁿ ①，
2Sn=1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+n⋅2n+1，②，
两式相减得：
-Sn=2+22+⋅⋅⋅+2n-n⋅2n+1=2(1-2n)1-2-n⋅2n+1=(1-n)⋅2n+1-2，
即Sn=(n-1)⋅2n+1+2，
故答案为：（n-1）⋅2ⁿ⁺¹+2．

解析

a23

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}时公差不为零的等差数列，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。