已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都有an＞0，且a13+a23+…+an3=2．求数列{an}的通项公式an；设数列{

题文

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N⁺，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{1anan+2}的前n项和为S_n，不等式S_n＞13log_a^（1-a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
则有a₁³+a₂³+…+a_n³+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，
∴an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同样有an2=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）由（1）知a_n=n，则1anan+2=1n(n+2)=12（1n-1n+2）．
∴S_n=1a1a3+1a2a4+1a3a5+…+1an-1an+1+1anan+2
=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+…+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）]
=12（1+12-1n+1-1n+2）
=34-12（1n+1+1n+2）．
∵S_n+1-S_n=1(n+1)(n+3)＞0，
∴数列{S_n}单调递增，
∴（S_n）_min=S₁=13．
要使不等式S_n＞13log_a（1-a）对任意正整数n恒成立，只要13＞13log_a（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜12．

解析

1anan+2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足对任意的n∈N+，都.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。