设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．求证：{an-2}是等比数列；求数列{nan}前n项和Tn．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{na_n}前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=4a_n+2n+1，
∴S₁=4a₁+3，而S₁=a₁，
∴a₁=-1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（4a_n+2n+1）-[4a_n-1+2（n-1）+1]
=4a_n-4a_n-1+2，
∴3a_n+2=4a_n-1，
∴3a_n-6=4a_n-1-8，即3（a_n-2）=4（a_n-1-2），又a₁-2=-3，
∴{a_n-2}是以-3为首项，公比为43等比数列．
∴a_n-2=-3×(43)n-1，
∴a_n=2-3×(43)n-1．
（2）∵a_n=2-3×(43)n-1，令b_n=na_n，
则b_n=na_n=2n-3n×(43)n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(43)0+2×(43)1+3×(43)2+…+n×(43)n-1]．
令C_n=1×(43)0+2×(43)1+3×(43)2+…+n×(43)n-1①，
43C_n=1×(43)1+2×(43)2+…+（n-1）×(43)n-1+n×(43)n②，
①-②得：-13C_n=(43)0+(43)1+(43)2+…+(43)n-1-n×(43)n
=1-(43)n1-43-n×(43)n
=-3（1-(43)n）-n×(43)n
=（3-n）×(43)n-3，
∴C_n=（3n-9）×(43)n+9．
∴T_n=2×n(1+n)2-3[（3n-9）×(43)n+9]
=-（9n-27）×(43)n+n²+n-27．

解析

43

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。