已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2求数列{an}的通项公式，并证明{an}是等差数列；若cn=12-an，求数列{1cn•cn+1}的前n

题文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=12n-n2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并证明{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=12-a_n，求数列{1cn•cn+1}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（ I）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
当n=1时，a₁=S₁=12-1=11适合上式，
∴a_n=13-2n，
∴当n∈N^*时，a_n+1-a_n=13-2（n+1）-（13-2n）=-2为定值，
∴数列{a_n}是等差数列；
（ II）∵c_n=12-a_n=12-（13-2n）=2n-1，n∈N^*，
∴1cn•cn+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1），
∴S_n=12[（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）]=12（1-12n+1）=n2n+1．

解析

1cn•cn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=12n-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。