已知Sn为数列{an}的前n项之和，a2=1，对任意的正整数n，都有Sn-2=p，其中p为常数，且p≠1．求p的值；求Sn．

题文

已知S_n为数列{a_n}的前n项之和，a₂=1，对任意的正整数n，都有S_n-2=p（a_n-2），其中p为常数，且p≠1．
（1）求p的值；（2）求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为对任意的正整数n，都有S_n-2=p（a_n-2），
所以，当n=1时，S₁=a₁，∴a₁-2=p（a₁-2），
（a₁-2）（p-1）=0且p≠1．∴a₁=2
由S₂-2=a₂-2，即a₁+a₂-2=p（a₂-2），a₂=1
即p=-1
（Ⅱ）S_n-2=-（a_n-2）=2-a_nS_n-1-2=2-a_n-1
两式相减得S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1
∴a_n=12a_n-1，∴a_n=2×（12）^n-1=12n-2
∴S_n=4-a_n=4-12n-2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知Sn为数列{an}的前n项之和，a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。