已知公差d不为0的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a3，a7成等比数列．求通项an及前n项和Sn；若有一新数列{bn}，且bn=1anan+1

题文

已知公差d不为0的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求通项a_n及前n项和S_n；
（2）若有一新数列{b_n}，且b_n=1anan+1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴a32=a1a7，
即（1+2d）²=a₁+6d，
∴4d2-2d=0，d=12，或d=0（舍去）．
∴数列的通项公式an=1+12(n-1)=12n+12，
前n项和S_n，Sn=n(1+12n+12)2=14n2+34n．
（2）由（1）得an=n+12，
∴an+1=n+22，
∴bn=1anan+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2)，
∴Tn=4(12-13+13-14+…+1n+1-1n+2)=4(12-1n+2)=2nn+2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知公差d不为0的等差数列{an}中，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。