已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足Sn=4-an．求数列{an}的通项公式；设bn=12-log2an，数列{bnb

题文

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足S_n=4-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=12-log2an（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，求证：T_n＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=4-a_n．得S₁=4-a₁，解得a₁=2，
而a_n+1=S_n+1-S_n=（4-a_n+1）-（4-a_n）=a_n-a_n+1，即2a_n+1=a_n，
∴an+1an=12，
可见，数列{a_n}是首项为2，公比为12的等比数列．
∴a_n=2•(12)n-1=(12)n-2；
（2）证明：∵b_n=12-log2an=12-(2-n)=1n，
∴b_nb_n+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，
∴数列{b_nb_n+2}的前n项和
T_n=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+（14-16）+…+（1n-2-1n）+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）]
=12（1+12-1n+1-1n+2）
=12（32-1n+1-1n+2）=34-12（1n+1+1n+2）＜34．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均是正数，其前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。