已知数列{an}的前n项和的公式是Sn=π12(2n2+n)．求证：{an}是等差数列，并求出它的首项和公差；记bn=sinan•sinan+1•s

题文

已知数列{a_n}的前n项和的公式是Sn=π12(2n2+n)．
（1）求证：{a_n}是等差数列，并求出它的首项和公差；
（2）记b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当n=1时，a1=S1=π4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=π12(2n2+n)-π12[2(n-1)2+(n-1)]=π12(4n-1)
所以a_n=π12(4n-1)．a_n-a _n-1=π3，所以{a_n}是等差数列，它的首项为π4和公差为π3；
（2）b₁=sina₁•sina₂•sina₃=sinπ4sin7π12sin11π12=

解析

a1=S1=π4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和的公式是Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。