设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列求数列{an}的通项公式．（Ⅲ

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）设c_n=2nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
有a₁+a₂=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3…（1分）
由S_n+1=4a_n+2，…①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）…（3分）
又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是首项b₁=3，公比为2的等比数列．…（4分）
（II）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴an+12n+1-an2n=34
∴数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列，…（6分）
∴an2n=12+（n-1）×34=34n-14，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2，…（8分）
（III）由（II）知，c_n=2nb_n=3n•2ⁿ，则
S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），…（10分）①
2S_n=3（1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹），②
①-②，得
-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，…（12分）
=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，
所以S_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．…（14分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。