题文
已知数列{an}的满足a1=3，an-3an-1=-3n（n≥2）．（1）求证：数列{an3n}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：∵an-3an-1=-3n(n≥2)，∴an3n-an-13n-1=-1，a13=33=1（4分）
∴数列{an3n}是以-1为公差，1为首项的等差数列．（5分）
（2）由（1）得an3n=-n+2，∴an=(2-n)•3n（6分）
（3）由（2）得Sn=1×3+0×32+(-1)×33+…+(3-n)•3n-1+(2-n)•3n（7分）
∴3Sn=1×32+0×33+(-1)×34+…+(3-n)•3n+(2-n)•3n+1（9分）
两式相减得，-2Sn=3-(32+33+34+…+3n)-(2-n)3n+1=3-9×(3n-1-1)3-1-(2-n)3n+1（12分）
整理得：Sn=-15+(2n-5)•3n+14（14分）
解析
an3n考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的满足a1=3，an-3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
