在等比数列{an}中，已知a3=32，S3=92．求{an}的通项公式；求和Sn=a1+2a2+…+nan．

题文

在等比数列{a_n}中，已知a₃=32，S₃=92．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+…+na_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件得：a₁q²=32，（1分）
a₁+a₁q+a₁q²=92，（2分）
∴1+qq2=2（3分）
∴q=1或q=-12（4分）
当q=1时，a₁=32，a_n=32（5分）
当q=-12时，a₁=6，a_n=6(-12)n-1（6分）
所以当q=1时，a_n=32；当q=-12时，a_n=6(-12)n-1．（7分）
（2）当q=1时，S_n=32（1+2+…+n）=3n(n+1)4；（9分）
当q=-12时，S_n=6[(-12)0+2×(-12)1+3×(-12)2+…+n(-12)n-1]（10分）
∴-12S_n=6[(-12)1+2×(-12)2+3×(-12)3+…+n(-12)n]（11分）
∴32S_n=6[1+（-12）+(-12)2+…+(-12)n-1-n(-12)n]（12分）
=6[1-(-12)n1+12-n(-12)n]（13分）
∴S_n=83-43（3n+2）×(-12)n（14分）

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，已知a3=32，S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。