题文
（1）等比数列
中，对任意
，
时都有
成等差，求公比
的值
（2）设
是等比数列
的前
项和，当
成等差时，是否有
一定也成等差数列？说明理由
（3）设等比数列
的公比为
，前
项和为
，是否存在正整数
，使
成等差且
也成等差，若存在，求出
与
满足的关系；若不存在，请说明理由 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）当，
时有
解得
或
……………………………………5分
（2）当
时
，显然
不是等差数列，
所以
，
由
成等差得
或
（不合题意）所以
；
所以
即一定有
成等差数列。…………………………………11分
（3）假设存在正整数
，使
成等差且
也成等差。
当
时
，显然
不是等差数列，
所以
，
……………………………13分
由
成等差得
或
…………16分
当
为偶数时，
，则有
且
；
当
为奇数时，
；
，
综上所述，存在正整数
（
）满足题设，
当
为偶数时，
；当
为奇数时，
。………………………18分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（1）等比数列中，对任意，时都有成等差，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
