题文
（本题满分14分）在数列
中，
，其中
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）解法一：
，
，
．由此可猜想出数列
的通项公式为
．
以下用数学归纳法证明．
（1）当
时，
，等式成立．
（2）假设当
时等式成立，即
，
那么
．
这就是说，当
时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式
对任何
都成立．
解法二：由
，
，可得
，
所以
为等差数列，其公差为1，首项为0，故
，所以数列
的通项公式为
．
（Ⅱ）解：设
， ①
②
当
时，①式减去②式，
得
，
．
这时数列
的前
项和
．
当
时，
．这时数列
的前
项和
．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
． ③
由
知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在
，使得
对任意
均成立．
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分14分）在数列中，，其中．（Ⅰ.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
