题文
（本小题满分12分）已知数列{a
}的前n项和Sn= —a
—(
)
+2 (n为正整数).
（1）证明：a
=
a
+ (
)
.,并求数列{a
}的通项
（2）若
=
，T
= c
+c
+···+c
，求T
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
⑴a=
. ⑵T
=3—
.
解析
本试题主要是考查了数列通项公式的求解以及数列的求和的综合运用。（1）因为数列{a
}的前n项和Sn= —a
—(
)
+2 (n为正整数).
利用前n项和与通项公式的 关系得到a
=
a
+ (
)
.,并求数列{a
}的通项
（2）根据第一问得到
=
，然后运用错位相减法得到数列的和式。
解：⑴由S
= —an—（
）
+2，得S
= —a
—(
)
+2，两式相减，得a
=
—a
+ a
+(
)
，即a
=
a
+(
)
.---------------------------------------2分
因为S
= —a
—（
）
+2，令n=1，得a
=
.对于a
=
a
+(
)
，两端同时除以(
)
，得2
a
=2
a
+1，即数列{2
a
}是首项为2
·a
=1，公差为1的等差数列，故2
a
=n，所以a
=
.------------------------------------6分
⑵由⑴及
=
，得c
= (n+1)(
)
，
所以T
=2×
+3×（
）
+4×（
）
+···+(n+1) (
)
，①
T
=2×（
）
+3×（
）
+4×（
）
+···+(n+1) (
)
，②
由①—②，得
T
=1+（
）
+（
）
+···+(
)
－(n+1) (
)
=1+
—
(n+1) (
)
=
—
. 所以T
=3—
.------------------------------------12分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知数列{a}的前n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
