在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).(Ⅰ)求a2,a3,a4;(Ⅱ)猜想an，并用数学归纳法证明；(Ⅲ)若数列bn= ，求数列{bn}的前n项

题文

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=

 (n∈N*).
(Ⅰ)求a_2, a_3,  a_4;
(Ⅱ)猜想a_n，并用数学归纳法证明；
(Ⅲ)若数列b_n=

，求数列{b_n}的前n项和s_n。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∴a₂=

 =

,a₃ =

 =

,a₄ =

=

.(Ⅱ)略
（Ⅲ）s_n=b₁+b₂+…+b_n=2[(1-

)+(

-

)+…+(

-

)]=2[1-

]=

解析

本试题主要是考查了运用递推关系求解数列的前几项，然后根据前几项的特点分析得到数列的通项公式，进而利用数列的归纳猜想思想，和数学归纳法的得到证明，并对于新数列求解和的问题。
（1）首先由a₁=1,a_n+1=

,，对n赋值依次得到第二项和第三项以及第四项。
（2）归纳猜想其通项公式，并运用数学归纳法加以证明，
（3）由（Ⅱ）知：b_n=

=

=2[

-

]，然后裂项求和得到结论。

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中,a1=1,an+1= .....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。