已知数列，，，……，，……计算，，，根据中的计算结果，猜想的表达式并用数学归纳法证明你的猜想。

题文

已知数列

，

，

，……，

，……
（1）计算

，

，

，


（2）根据（1）中的计算结果，猜想

的表达式并用数学归纳法证明你的猜想。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

   

     





（2）根据（1）的计算结果猜想

           （7分）

解析

本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，证明n=k+1时，是解题的难点。
（1）S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）由（1）猜想猜想

，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设

，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立

考点

据考高分专家说，试题“已知数列，，，……，，……（1）计算，，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。