题文
已知直角
的三边长
，满足
（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以
为首项的等差数列
，且它们的和为
，求的最小值；
（2）已知
均为正整数，且
成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
，且
，求满足不等式
的所有
的值；
（3）已知
成等比数列，若数列
满足
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且
是正整数. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）最小值为
； （2） 2、3、4.
（3）证明：由
成等比数列，
.
由于
为直角三角形的三边长，证明数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 证得
，
故对于任意的
都有
是正整数.
解析
（1）
是等差数列，∴
，即
. 2分
所以
，的最小值为
； 4分
（2） 设
的公差为
，则
5分
设三角形的三边长为
，面积
，
，
. 7分
由
得
，
当
时，
，
经检验当
时，
，当
时，
9分
综上所述，满足不等式
的所有
的值为2、3、4. 10分
（3）证明：因为
成等比数列，
.
由于
为直角三角形的三边长，知
，
， 11分
又
，得
，
于是
.… 12分
，则有
.
故数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 14分
因为
，
， 15分
由
，同理可得
，
故对于任意的
都有
是正整数. 16分
点评：难题，本题综合性较强，涉及等差数列、等比数列、不等式及构成直角三角形的条件。对法则是自点变形能力要求高，易出错。
考点
据考高分专家说，试题“已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
