题文
已知数列
、
中，
，且当
时，
，
.记
的阶乘
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求证：数列
为等差数列；
（3）若
，求
的前
项和. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）详见解析；（3）数列
的前
项和为
.
解析
（1）根据数列
的通项公式的结构特点选择迭代法求数列
的通项公式；（2）在数列
的递推式
的两边同时除以
得到
，于是得到
，从而利用定义证明数列
为等差数列；（3）在（2）的基础上求出数列
的通项公式，并分别求出数列
和数列
的通项公式，然后根据数列
的通项结构选择分组求和法，分别对数列
和数列
进行求和，利用裂项法对数列
进行求和，利用错位相减法对数列
进行求和，然后再将两个和相加即可.
试题解析：（1）
，
，
，
；
又
，所以
；
（2）由
，两边同时除以
得
，即
，
所以数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
，故
；
（3）因为
，
，
记
，
，
记
的前
项和为
，
则
， ①
②
由②
①得，
，
∴
=
.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列、中，，且当时，，.记的阶乘.（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
