题文
已知数列
的前
项和
，函数
对
有
，数列
满足
.
（1）分别求数列
、
的通项公式；
（2）若数列
满足
，
是数列
的前
项和，若存在正实数
，使不等式
对于一切的
恒成立，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
解析
(1)由数列
的前
项和
求
,分两种情况进行,
时
和
时,
.数列
利用
可求得.
(2)由(1)得
,
利用
得出
关系式,利用错位相减法得出
,再利用参数分离法得出k的范围.
试题解析：（1）
1分
时满足上式，故
3分
∵
=1∴
4分
∵
①
∴
②
∴①+②，得
6分
(2)
7分
①
②
①-②得
8分
即
10分
要使得不等式
恒成立,
对于一切的
恒成立,
即
11分
令
,则
当且仅当
时等号成立,故
13分
所以
为所求. 14分
求
,错位相减法,参数分离.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和，函数对有，数列满足.（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
