题文
已知数列
的相邻两项
，
是关于
方程
的两根，且
.
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）求数列
的前
项和
；
（3）设函数
，若
对任意的
都成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析（2）
（3）
解析
（1）由一元二次方程根与系数的关系可得数列
的递推公式：
，
设
，易求得：
，
，
并注意到:
,可知数列
是公比为
的等比数列.
（2）由（1）的结果得数列
的通项公式
,于是:
,的拆项法,将数列
的前
项和
化为两个等比数列的前
和.
（3）由韦达定理：
=
所以
，采用分离变量法求将求实数
的取值范围问题，转变成求关于的函数的最值问题.
试题解析：（1）∵
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
是首项为
，公比为
的等比数列。
且
4分
（2）由（1）得
=
8分（注：未分奇偶写也得8分）
（3）∵
，
∴
,∴
,
∴
.
∴当
为奇数时，
，
∴
对任意的
为奇数都成立，∴
。 11分
∴当
为偶数时，
，
∴
，
∴
对任意的
为偶数都成立，∴
13分
综上所述，实数
的取值范围为
。 14分
项和；3、等价转化的思想.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的相邻两项，是关于方程的两根，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
