根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….(1)分别求数列{xk}和{yk}的通项公式；(2)令z

题文

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_k，…；y₁，y₂，…，y_k，….



(1)分别求数列{x_k}和{y_k}的通项公式；
(2)令z_k＝x_ky_k，求数列{z_k}的前k项和T_k，其中k∈N^*，k≤2 007. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y_k＝3^k－1(k∈N^*，k≤2 007)．（2）(k－1)·3^k＋1＋3＋k²

解析

(1)由框图，知数列{x_k}中，x₁＝1，x_k＋1＝x_k＋2，
∴x_k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N^*，k≤2 007)
由框图，知数列{y_k}中，y_k＋1＝3y_k＋2，
∴y_k＋1＋1＝3(y_k＋1)∴

＝3，y₁＋1＝3.
∴数列{y_k＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴y_k＋1＝3·3^k－1＝3^k，∴y_k＝3^k－1(k∈N^*，k≤2 007)．
(2)T_k＝x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ky_k＝1×(3－1)＋3×(3²－1)＋…＋(2k－1)(3^k－1)＝1×3＋3×3²＋…＋(2k－1)·3^k－[1＋3＋…＋(2k－1)]
记S_k＝1×3＋3×3²＋…＋(2k－1)·3^k ①
则3S_k＝1×3²＋3×3³＋…＋(2k－1)·3^k＋1 ②
①－②，得－2S_k＝3＋2·3²＋2·3³＋…＋2·3^k－(2k－1)·3^k＋1
＝2(3＋3²＋…＋3^k)－3－(2k－1)·3^k＋1＝2×

－3－(2k－1)·3^k＋1
＝3^k＋1－6－(2k－1)·3^k＋1＝2(1－k)·3^k＋1－6
∴S_k＝(k－1)·3^k＋1＋3∴T_k＝(k－1)·3^k＋1＋3＋k²

考点

据考高分专家说，试题“根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。