已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且S_n=2n²+n,n∈N^*,数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3,n∈N^*.
(1)求a_n,b_n;
(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=4n-1,n∈N^*  b_n=2^n-1,n∈N^*  (2) T_n=(4n-5)2ⁿ+5,n∈N^*

解析

解:(1)由S_n=2n²+n,得
当n=1时,a₁=S₁=3;
当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=4n-1
所以a_n=4n-1,n∈N^*
由4n-1=a_n="4" log₂b_n+3,得b_n=2^n-1,n∈N^*.
(2)由(1)知a_nb_n=(4n-1)·2^n-1,n∈N^*,
所以T_n=3+7×2+11×2²+…+(4n-1)·2^n-1,
2T_n=3×2+7×2²+…+(4n-5)·2^n-1+(4n-1)·2ⁿ,
所以2T_n-T_n=(4n-1)2ⁿ-[3+4(2+2²+…+2^n-1)]=(4n-5)2ⁿ+5
故T_n=(4n-5)2ⁿ+5,n∈N^*.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。