题文
已知数列
的前
项和为
，且满足
．
（1）求
，
的值；
（2）求
；
（3）设
，数列
的前
项和为
，求证：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
． （3）见解析
解析
（1）分别令n=1,2,在根据
的定义即可求的
.
（2）利用
与
的关系(
),即可消去
得到关于
的递推式,整理可后利用叠乘法即可得到
的通项公式,注意验证首项.此外还可以先找规律得到通项公式，再利用数学归纳法进行证明.这也是可以的.
（3）由第二问得
是不可求和的数列,可以考虑放缩成为可求和的数列,跟据
为分式,以此可以考虑放缩成为可以裂项求和的数列
,裂项求和即可证明相应的不等式.
试题解析：
（1）当
时，有
，解得
．
当
时，有
，解得
． 2分
（2）（法一）当
时，有
, ①
． ②
①—②得：
，即：
． 5分
．
． 8分
另解：
．
又
当
时，有
，
． 9分[
（法二）根据
，
，猜想：
． 3分
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当
时，有
，猜想成立．
（Ⅱ）假设当
时，猜想也成立，即：
．
那么当
时，有
，
即：
，①
又
， ②
①-②得：
，
解，得
．
当
时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得
成立． 8分
（3）
， 10分
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为，且满足．（1）求，的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
