题文
已知数列
的前
项和为
，对一切正整数
，点
都在函数
的图象上.
（1）求
，
；
（2）求数列
的通项公式；
（3）若
，求证数列
的前
项和
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
（3）见解析
解析
(1)把点
带入函数
的解析式即可得到
,利用数列前n项和的定义可得
,则分别令
带入式子
即可得到
的值.
(2)由(1)可得
,则利用前n项和
与
之间的关系
,令
时,
然后验证首项
,即可得到
的通项公式.
(3)把(2)得到的
带入
,即可得到
的通项公式,为求其前n项和
,可以把
进行裂项
,进而采用裂项求和的方法即可得到
,再利用
非负即可证明
试题解析：
（1）∵点
都在函数
的图象上，
∴
， （1分）
∴
， （2分）
又
，∴
. （4分）
（2）由（1）知，
，
当
时，
（6分）
由（1）知，
满足上式， （7分）
所以数列
的通项公式为
. （8分）
（3）由（2）得
（11分）
（12分）
（13分）
. （14分）
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
