水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万

题文

水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.
(1)试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？
(2)为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2009年（2）570亿元

解析

(1)设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题．依题意，得
515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)²＋…＋515×(1＋12%)^x－1＝9100×70%，即515×[1＋1.12＋1.12²＋…＋1.12^x－1]＝6370，

，
整理得1.12^x≈2.4843x≈log_1.122.4843＝

≈8.03.
又x∈N，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题．
(2)设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y亿元．
首批退耕地国家应支付：515×10⁴×(300×0.7＋20)×8，
第二批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7，
第三批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6，
…
最后一批退耕地国家应支付：515×10⁴×(1＋20%)⁷×(300×0.7＋20)×1.
y＝

，
令S＝8＋7×1.12＋6×1.12²＋…＋1×1.12⁷，①
1．12S＝8×1.12＋7×1.12²＋6×1.12³＋…＋1×1.12⁸，②
②－①，得0.12S＝－8×(1.12＋1.12²＋1.12³＋…＋1.12⁷)＋1×1.12⁸，
即0.12S＝－8＋

＝－8＋

≈－8＋

，
解得S≈48.1，故y≈(515×10⁴×230×48.1)÷10⁸≈569.7亿元．
故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元

考点

据考高分专家说，试题“水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。