题文
已知等差数列
的前
项和为
，且
、
成等比数列.
（1）求
、
的值；
（2）若数列
满足
，求数列
的前
项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）
.
解析
（1）解法1是先令
求出
的表达式，然后令
，得到
计算出
在
的表达式，利用
为等差数列得到
满足通式，从而求出
的值，然后利用条件
、
成等比数列列方程求出
的值，从而求出
、
的值；解法2是在数列
是等差数列的前提下，设其公差为
，利用公式
以及对应系数相等的特点得到
、
和
、
之间的等量关系，然后利用条件
、
成等比数列列方程求出
的值，从而求出
、
的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列
的通项公式，然后利用错位相减法求数列
的和；解法2是利用导数
以及函数和的导数运算法则，将数列
的前
项和
视为函数列
的前
项和在
处的导数值，从而求出
.
试题解析：（1）解法1：当
时，
，
当
时，
.
是等差数列，
，得
.
又
，
，
，
、
、
成等比数列，
，即
，解得
.
解法2：设等差数列
的公差为
，
则
.
，
，
，
.
，
，
.
、
、
成等比数列，
，
即
，解得
.
；
（2）解法1：由（1）得
.
，
.
，①
，②
①
②得
.
.
解法2：由（1）得
.
，
.
，①
由
，
两边对
取导数得，
.
令
，得
.
.
考点
据考高分专家说，试题“已知等差数列的前项和为，且、成等比数列......”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
