设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn。若a1，S2，-2a2成等比数列，求S2和a3；求证：对k≥3

题文

设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈ N*）。
（1）若a₁，S₂，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃；
（2）求证：对k≥3有0≤a_k+1≤a_k≤

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意


得


由S₂是等比中项知S₂≠0
因此S₂=-2
由


解得

。
（2）由题设条件有



故S_n≠1，a_n+1≠1且


从而对k≥3有


 ①
因

且

，由①得a_k≥0
要证


由①只要证


即证


即（a_k-1-2）²≥0，此式明显成立
因此

（k≥3）
最后证


若不然


又因a_k≥0，故


即（a_k-1）²＜0，矛盾
因此a_k+1≤a_k（k≥3）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设实数数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等比中项 ]考点的理解。 等比中项

等比中项：

若数a，G，b成等比数列，那么就称G为a与b的等比中项，从而有G²＝ab或G＝±

。

等比中项的理解：

如果a，G，b三个数成等比数列，则有G²=ab．反之不一定成立．由等比中项定义可知：

，

，
这表明，只有同号的两项才有等比中项，并且这两项有2个互为相反数的等比中项，当a>0，b>0时，G

又叫做a，b的几何平均数。