已知数列{an}满足：，数列{bn}中，．求a1，a2，a3；证明：数列{bn}为等差数列；求证：数列{b

题文

已知数列{a_n}满足：

（n∈N*，a∈R，a为常数），数列{b_n}中，

．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：数列{b_n}为等差数列；
（3）求证：数列{b_n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知

 ，得

 ，

 ，

 ．
（2） 

，


  ∴b_n+1﹣b_n=1，又b₁=a₃=a，
∴数列{b_n}是首项为a，公差为1的等差数列．
（3）证明：由（2）知b_n=a+n﹣1，
若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，
i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，
则（a+j）²=（a+i）（a+k），得a（i+k﹣2j）=j²﹣ik，
若i+k﹣2j=0，则j2﹣ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．
若i+k﹣2j≠0，则

 ，
∵i、j、k为非负整数，
∴a是有理数．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：（n∈N*，.....”主要考查你对 [等比中项 ]考点的理解。 等比中项

等比中项：

若数a，G，b成等比数列，那么就称G为a与b的等比中项，从而有G²＝ab或G＝±

。

等比中项的理解：

如果a，G，b三个数成等比数列，则有G²=ab．反之不一定成立．由等比中项定义可知：

，

，
这表明，只有同号的两项才有等比中项，并且这两项有2个互为相反数的等比中项，当a>0，b>0时，G

又叫做a，b的几何平均数。