已知{an}是a1=23，公差d为整数的等差数列，且前6项为正，第7项开始为负．求d的值；求前n项之和Sn的最大值；当Sn是正数时求n的最大值

题文

已知{a_n }是a₁=23，公差d为整数的等差数列，且前6项为正，第7项开始为负．
（1）求d的值；
（2）求前n项之和S_n 的最大值；
（3）当S_n 是正数时求n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-235＜d＜-236，又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{a_n}是递减数列，又a₆＞0，a₇＜0
∴当n=6时，S_n取得最大值，S₆=6×23+6×52（-4）=78
（3）S_n=23n+n(n-1)2（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜252，又n∈N*，
所求n的最大值为12．

解析

235

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是a1=23，公差d为整数的.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。