已知数列{an}满足：a1=1；an+1-an=1，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*．求数列{an}、{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足cn=1(an+1)(an+1+1)，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n…2分
∵S_n+b_n=2，
∴S_n+1+b_n+1=2，
两式相减得S_n+1-S_n+b_n+1-b_n=0，
即2b_n+1-b_n=0，
化简得bn+1bn=12…4分
所以数列{b_n}为等比数列，…5分
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1…6分
所以b_n=12n-1 …7分
（2）由（1）可得cn=1(an+1)(an+1+1)=1(n+1)(n+2)=1(n+1)-1(n+2)…10分
∴T_n=（12-13）+（13-14）+…+（1(n+1)-1(n+2)）=12-1(n+2)=n2(n+2) …12分．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1；an+1.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。