已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5，证明数列{an+1}是等比数列；令f=a1x

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=S_n+n+5（n∈N*），
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较2f′（1）与23n²-13n的大小。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由已知

可得

，
两式相减得

，即

，
从而

，
当n=1时

，
所以

，
又

，
所以

，
从而

，故总有

，

，
又

，
从而

，即数列

是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，
因为

，
所以

，
从而








，
由上




=12

，①
当n=1时，①式=0，所以

；
当n=2时，①式=-12＜0，所以

；
当

时，n-1＞0，
又





，
所以

，即①＞0，
从而





。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。