已知数列{an}满足：a1＋＝n2＋2n，求数列{an}的通项公式；当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，

题文

已知数列{a_n}满足：a₁＋

＝n²＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有（1－λ）S_n＋λa_n≥2λⁿ恒成立，求实数λ的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n＝1时，a₁＝3；
当n≥2时，由a₁＋

＝n²＋2n，              ①
得

＝（n-1）²＋2（n-1），    ②
①-②得：

＝2n＋1，
所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1，（n≥2），
因为a₁＝3，所以a_n＝（2n＋1）·λ^n-1（n∈N*）。
（2）当λ＝4时，a_n＝（2n＋1）·4^n-1，
若存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[（2r＋1）4^r-1] [（2t＋1）·4^t-1]＝（2s＋1）²·4^2s-2，
整理得（2r＋1）（2t＋1） 4^{r＋t -2s}＝（2s＋1）²，
由奇偶性知r＋t -2s＝0，
所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1）²，
即（r-t）²＝0，
这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列。
（3）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
当λ＝1时，S_n＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n²＋2n；
当λ≠1时，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋（2n＋1）λ^n-1，
λS_n＝

，





，
要对任意n∈N*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，
①当λ=1时，左=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥2，结论显然成立；
②当λ≠1时，
左=（1-λ）S_n+λa_n=




，
因此，对任意n∈N*，都有

恒成立，
当0＜λ＜1时，只要

对任意n∈N*恒成立，
只要有

，
因此，当0＜λ＜1时，结论成立；
当λ≥2时，

显然不可能对任意n∈N*恒成立；
当1＜λ＜2时，只要

对任意n∈N*恒成立，
只要有

即可，解得1≤λ≤

；
因此当1＜λ≤

时，结论成立；
综上可得，实数λ的取值范围为（0，

]。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1＋.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。